Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2019 (40 Nomor)

PILIHAN GANDA

Nomor 1: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Perhatikan gambar grafik berikut.

Jika grafik fungsi ax² + bx + c = 0 seperti pada gambar a, b, dan c yang memeuhi adalah...
$A.\ a > 0, b > 0, c > 0$
$B.\ a < 0, b > 0, c > 0$
$C.\ a < 0, b > 0, c < 0$ $D.\ a > 0, b < 0, c > 0$
$E.\ a < 0, b < 0, c < 0$

Pembahasan :

Kurva terbuka ke atas, berarti a > 0. Jika kurva terbuka ke bawah a < 0. Kurva memotong sumbu Y positif, berarti c < 0. Kurva memotong sumbu X negatif, sehingga $x_1 < 0\ dan\ x_2 < 0$. Karena $x_1\ dan\ x_2$ bernilai negatif, maka:
$x_1 + x_2 < 0$
$-\dfrac ba < 0$
Karena $a > 0\ (positif)$ sementara $-\dfrac ba < 0\ (negatif)$ maka
$b\ harus\ positif\ ( > 0 )$. Dengan demikian $a > 0, b > 0, c > 0$.

Jawaban : A

Nomor 2: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Harga 3 buah buku dan 2 buah penggaris Rp18.000,00. Jika harga sebuah buku Rp1.000,00 lebih mahal dari sebuah penggaris, harga 2 buah buku dan 5 buah penggaris adalah...
$A.\ Rp19.000,00$
$B.\ Rp23.000,00$
$C.\ Rp25.000,00$
$D.\ Rp27.000,00$
$E.\ Rp30.000,00$

Pembahasan :

Misalkan harga buku adalah x dan harga penggaris adalah y, dimana
$y = x - 1000$
$3x + 2y = 18000$
$3x + 2(x - 1000) = 18000$
$3x + 2x - 2000 = 18000$
$5x = 20000$
$x = 4000$
$y = 3000$
$2x + 5y = 2.4000 + 5.3000$
$= 8000 + 15000$
$= Rp23.000,00$

Jawaban : B

Nomor 3: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear $3x + 4y \leq 96$; $x + y \leq 30$; $x \geq 0$; $y \geq 0$ adalah...

A. I
B. II
C. III
D. IV
E. V

Pembahasan :

$3x + 4y \leq 96$ → lakukan uji titik $O(0, 0)\ !$
$3.0 + 4.0 \leq 96$
$0 \leq 96$ → benar, berarti arsiran ke arah $O(0, 0)$

$x + y \leq 30$
$0 + 0 \leq 30$
$0 \leq 30$ → benar, berarti arsiran ke arah $O(0, 0)$.
$x \geq 0\ dan\ y \geq 0$ → kuadran I.
Dengan demikian, daerah di kuadran I yang dua kali arsir adalah daerah IV.

Jawaban : D

Nomor 4: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan...

$A.\ 6x + y \leq 12;\ 5x + 4y \geq 20;\ x \geq 0;\ y \leq 0$
$B.\ 6x + y \geq 12;\ 5x + 4y \geq 20;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$C.\ 6x + y \geq 12;\ 5x + 4y \leq 20;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$D.\ x + 6y \leq 12;\ 4x + 5y \geq 20;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$E.\ x + 6y \geq 12;\ 4x + 5y \leq 20;\ x \geq 0;\ y \geq 0$

Pembahasan :

Ingat persamaan garis yang melalui titik $(0, a)\ dan\ (b, 0)$ adalah $ax + by = ab$
Perhatikan garis yang melalui titik $(4, 0)\ dan\ (0, 5)\ !$
$5x + 4y = 20$
$a = 5 > 0$ dan arsiran di sebelah kanan garis, berarti tanda pertidaksamaan adalah $\geq$. Pertidaksamaannya menjadi $5x + 4y \geq 20$.
Perhatikan garis yang melalui titik $(2, 0)\ dan\ (0, 12)\ !$
$12x + 2y = 24$ → disederhanakan menjadi:
$6x + y = 12$
$a = 6 > 0$ dan arsiran di sebelah kiri garis, berarti tanda pertidaksamaan adalah $\leq$. Pertidaksamaannya menjadi $6x + y \leq 12$.
Karena arsiran berada di kuadran I, maka: $x \geq 0\ dan\ y \geq 0$.

Jawaban : A

Nomor 5: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Seorang pedagang beras akan membuat beras campuran dengan cara mencampur beras jenis A dan beras jenis B. Beras campuran pertama terdiri dari 4 kg beras jenis A dan 8 kg beras jenis B sedangkan beras campuran kedua terdiri dari 8 kg beras jenis A dan 10 kg beras jenis B. Beras yang tersedia untuk beras jenis A dan B berturut-turut 80 ton dan 106 ton. Jika harga jual untuk beras campuran jenis pertama Rp60.000,00 dan jenis kedua Rp80.000,00, penjualan mksimum yang diperoleh adalah...
$A.\ Rp1.200.000.000,00$
$B.\ Rp920.000.000,00$
$C.\ Rp840.000.000,00$
$D.\ Rp800.000.000,00$
$E.\ Rp795.000.000,00$

Pembahasan :

Misalkan banyak beras campuran pertama = x dan banyak beras campuran kedua = y.
Tinjau beras jenis A !
$4x + 8y \leq 80$ → disederhanakan menjadi:
$x + 2y \leq 20$
Tinjau beras jenis B !
$8x + 10y \leq 106$ → disederhanakan menjadi:
$4x + 5y \leq 53$
$x \geq 0$
$y \geq 0$

Cari titik potong garis $x + 2y = 20$ dengan garis $4x + 5y = 53$
$4x + 8y = 80$
$4x + 5y = 53$
------------------------ --
$3y = 27$
$y = 9\ ton = 9000\ kg$
$x = 2\ ton = 2000\ kg$

Fungsi objektif atau fungsi sasaran:
$z = f(x,y) = 60.000x + 80.000y$
$A(13.250,\ 0 → 795.000.000$
$B(2.000,\ 9.000) → 840.000.000$
$C(0,\ 10.000) → 800.000.000$

Penjualan maksimum $= Rp840.000.000,00$

Jawaban : C

Nomor 6: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Seorang peternak ayam petelur mencatat banyak telur yang dihasilkan selama 12 hari. Setiap hari, banyak telur yang dihasilkan bertambah 4 buah. Jika hari pertama telur yang dihasilkan berjumlah 20 buah, jumlah seluruh telur selama 12 hari adalah...
A. 480
B. 496
C. 504
D. 512
E. 520

Pembahasan :

Deret Aritmetika !
$a = 20$
$b = 4$
$n = 12$
$\begin{align}
S_n &= \dfrac n2\left(2a + (n - 1)b\right)\\
&= \dfrac{12}{2}(2.20 + (12 - 1).4)\\
&= 6(40 + 44)\\
&= 6.84\\
&= 504 \end{align}$

Jawaban : C

Nomor 7: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Seorang peneliti melakukan pengamatan terhadap bakteri tertentu. Setiap $\dfrac12$ hari bakteri membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat 2 bakteri. Jika setiap 2 hari $\dfrac14$ dari jumlah bakteri mati, banyak bakteri setelah 3 hari adalah...
A. 48 bakteri
B. 64 bakteri
C. 96 bakteri
D. 128 bakteri
E. 192 bakteri

Pembahasan :

$Mula-mula → 2$
$\dfrac12\ hari\ pertama → 4$
$1\ hari\ pertama → 8$
$1\dfrac12\ hari\ pertama → 16$
$2\ hari\ pertama → 32$, kemudian mati sebanyak $\dfrac14.32 = 8$ sehingga tersisa 24 bakteri.
$2\dfrac12\ hari\ pertama → 48$
$3\ hari\ pertama → 96.$

Jawaban : C

Nomor 8: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian 2 m dan memantul kembali dengan ketinggian $\dfrac34$ kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah...
A. 12 m
B. 14 m
C. 16 m
D. 18 m
E. 20 m

Pembahasan :

Perhatikan gambar lintasan turun dan lintasan naik dari bola tenis !

Lintasan turun (warna merah):
$a = 2,\ r = \dfrac34$
$\begin{align}S_\infty &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{2}{1 - \dfrac34}\\
&= \dfrac{2}{\dfrac14}\\
&= 2.4\\
&= 8\end{align}$

Lintasan naik (warna kuning):
$a = \dfrac34.2 = \dfrac32$
$r = \dfrac34$
$\begin{align}
S_\infty &= \dfrac{a}{1 - r}\\
&= \dfrac{\dfrac32}{1 - \dfrac34}\\
&= \dfrac{\dfrac32}{\dfrac14}\\
&= \dfrac32.\dfrac41\\
&= 6\end{align}$
$Lintasan\ total\ = 8 + 6 = 14\ m$

Jawaban : B

Nomor 9: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Daerah asal fungsi $h(x) = \sqrt{\dfrac{x^2 + 2x - 3}{x - 4}}$ agar terdefinisi adalah...
$A.\ \{x\ |\ 1 \leq x < 4,\ x\in R \}$
$B.\ \{x\ |\ x \leq -1\ atau\ 3 \leq x < 4,\ x \in R \}$
$C.\ \{x\ |\ x \leq -3\ atau\ 1 \leq x < 4,\ x \in R \}$
$D.\ \{x\ |\ 1 \leq x \leq 3\ atau\ x > 4,\ x \in R \}$
$E.\ \{x\ |\ -3 \leq x \leq 1\ atau\ x > 4,\ x \in R \}$

Pembahasan :

$\dfrac{x^2 + 2x - 3}{x - 4} \geq 0,\ x \ne 4$
$\dfrac{(x + 3)(x - 1)}{x - 4} \geq 0$
$(x + 3)(x - 1)(x - 4) \geq 0$
$-3 \leq x \leq 1\ atau\ x > 4,\ x \in R$

Jawaban : E

Nomor 10: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Diketahui $f : R → R$ dan $g : R → R$ dengan $f\ o\ g)(x) = 8x^3 - 20x^2 + 22x - 10$ dan $g(x) = 2x - 1.$ Nilai dari $f(1) =$...
A. -10
B. -1
C. 0
D. 1
E. 10

Pembahasan :

$\begin{align}
f\ o\ g)(x) &= 8x^3 - 20x^2 + 22x - 10\\
f(g(x)) &= 8x^3 - 20x^2 + 22x - 10\\
f(2x - 1) &= 8x^3 - 20x^2 + 22x - 10\\
f(2.1 - 1) &= 8.1^3 - 20.1^2 + 22.1 - 10\\
f(1) &= 8.1 - 20 + 22 - 10\\
f(1) &= 0\end{align}$

Jawaban : C

Nomor 11: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Diketahui fungsi $f(x) = \sqrt{3x + 5}$ dengan $x \geq \dfrac 53$. Jika $f^{-1}(x)$ adalah invers dari fungsi $f(x)$, nilai dari $f^{-1}(3) =$...
A. $\dfrac43$
B. $\dfrac23$
C. $\dfrac13$
D. $-\dfrac23$
E. $-\dfrac43$

Pembahasan :

$y = \sqrt{3x + 5}$
$y^2 = 3x + 5$
$x = \dfrac{y^2 - 5}{3}$
$f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 - 5}{3}$
$f^{-1}(3) = \dfrac{3^2 - 5}{3}$
$f^{-1}(3) = \dfrac43$

Jawaban : A

Nomor 12: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Diketahui persamaan matriks $\begin{pmatrix}a & b\\1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1\\4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & 12\\14 & -5 \end{pmatrix}$. Nilai $2a - b =$...
A. 18
B. 16
C. 14
D. 10
E. 6

Pembahasan :

$\begin{pmatrix}a & b\\1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1\\4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & 12\\14 & -5 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}2a + 4b & a - 2b\\14 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & 12\\14 & -5 \end{pmatrix}$
Persamaan matriks:
$2a + 4b = 8$ → disederhanakan menjadi:
$a + 2b = 4$ . . . . *
$a - 2b = 12$ . . . . **
Eliminasi persamaan * dan **
$a + 2b = 4$
$a - 2b = 12$
------------------------ +
$2a = 16$
$a = 8$
$b = -2$
$2a - b = 2.8 - (-2)$ $= 16 + 2 = 18$

Jawaban : A

Nomor 13: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Misalkan $A'(-1, -2)$ dan $B'(3, 7)$ adalah hasil bayangan titik $A(-1, 0)$ dan $B(2, 1)$ oleh transformasi matriks $X$ berordo 2 x 2. Jika $C'(0, 1)$ adalah bayangan titik $C$ oleh transformasi tersebut, titik $C$ adalah...
A. (-1,1)
B. (1,1)
C. (1,3)
D. (2,-3)
E. (2,3)

Pembahasan :

Misalkan matriks transformasinya adalah $\begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-1 \\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 \\ 0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}-1 \\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-a \\ -c\end{pmatrix}$
Persamaan matriks:
$a = 1,\ c = 2$
$\begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & b\\2 & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 + b \\ 4 + d\end{pmatrix}$
Persamaan matriks:
$3 = 2 + b → b = 1$
$7 = 4 + d → d = 3$
Dengan demikian matriks transformasinya adalah $\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 3 \end{pmatrix}$. Sekarang kita cari titik $C$.
$\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$
Ingat !
Jika $AX = B,\ maka\ X = A^{-1}B$
$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \dfrac{1}{1.3 - 1.2}\begin{pmatrix}3 & -1\\-2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -1\\-2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}$

Jawaban : A

Nomor 14: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Diketahui $f(x) = 2x^2 - 3x - 5$. Hasil dari $\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} =$...
A. 2x - 3
B. 4x - 3
C. 6x - 3
D. 4x³ - 3x²
E. 4x³ - 2x

Pembahasan :

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x)$
$f(x) = 2x^2 - 3x - 5$
$f'(x) = 4x - 3$

Jawaban : B

Nomor 15: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 3}\ \dfrac{x^2 - x - 6}{\sqrt{3x^2 - 2} - 5} =$...
A. 0
B. $\dfrac{25}{9}$
C. $\dfrac{25}{6}$
D. $\dfrac{25}{3}$
E. $\infty$

Pembahasan :

$\displaystyle \lim_{x \to 3}\ \dfrac{x^2 - x - 6}{\sqrt{3x^2 - 2} - 5}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\ \dfrac{x^2 - x - 6}{\sqrt{3x^2 - 2} - 5}.\dfrac{(\sqrt{3x^2 - 2} + 5)}{(\sqrt{3x^2 - 2} + 5)}$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\ \dfrac{x^2 - x - 6}{3x^2 - 27}.(\sqrt{3x^2 - 2} + 5)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\ \dfrac{(x + 2)(x - 3)}{3(x^2 - 9)}.(\sqrt{3x^2 - 2} + 5)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\ \dfrac{(x + 2)(x - 3)}{3(x + 3)(x - 3)}.(\sqrt{3x^2 - 2} + 5)$
$= \displaystyle \lim_{x \to 3}\ \dfrac{(x + 2)}{3(x + 3)}.(\sqrt{3x^2 - 2} + 5)$
$= \dfrac{(3 + 2)}{3(3 + 3)}.(\sqrt{3.3^2 - 2} + 5)$
$= \dfrac{5}{18}.(5 + 5)$
$= \dfrac{5}{18}.10$
$= \dfrac{25}{9}$

Jawaban : B

Nomor 16: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{4x} - \sqrt{4x - 5})(\sqrt{4x - 3})$ adalah...
A. $-\dfrac52$
B. $-\dfrac12$
C. $\dfrac12$
D. $\dfrac32$
E. $\dfrac52$

Pembahasan :

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{4x} - \sqrt{4x - 5})(\sqrt{4x - 3})$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{4x}.\sqrt{4x - 3} - \sqrt{4x - 5}.\sqrt{4x - 3})$
$= \displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{16x^2 - 12x} - \sqrt{16x^2 - 32x + 15})$
$= \dfrac{-12 - (-32)}{2.\sqrt{16}}$
$= \dfrac{-12 + 32}{2.4}$
$= \dfrac{20}{8}$
$= \dfrac52$

Jawaban : E

Nomor 17: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Persamaan garis singgung kurva $y = \sqrt{8x - 4}$ yang tegak lurus garis $2x + 4y + 1 = 0$ adalah...
A. $2x - y = 0$
B. $2x - y - 3 = 0$
C. $2x - y + 3 = 0$
D. $2x - y - 4 = 0$
E. $2x - y + 4 = 0$

Pembahasan :

Misalkan gradien garis $2x + 4y + 1 = 0$ adalah $m_1$ dan gradien garis singgung adalah $m_2$
$m_1 = -\dfrac12$
$m_1.m_2 = -1$ → saling tegak lurus.
$-\dfrac12.m_2 = -1$
$m_2 = 2$
Persamaan garis singgung:
$y = \sqrt{8x - 4}$
Gradien adalah turunan pertama fungsi di titik singgung.
$m_2 = y' = 8.\dfrac12(8x - 4)^{-\frac12}$
$2 = \dfrac{4}{\sqrt{8x - 4}}$
$2\sqrt{8x - 4} = 4$
$\sqrt{8x - 4} = 2$
$8x - 4 = 4$
$8x = 8$
$x = 1$
$y = \sqrt{8x - 4}$
$y = \sqrt{8.1 - 4}$
$y = \sqrt{4}$
$y = 2$
Titik singgung (1, 2) dan gradien garis singgung adalah 2. Dengan demikian persamaan garis singgungnya bisa dicari.
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 2 = 2(x - 1)$
$y - 2 = 2x - 2$
$2x - y = 0$

Jawaban : A

Nomor 18: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Persamaan garis yang melalui $A(2, -4)$ dan tegak lurus dengan garis singgung kurva $y = 2x^2 - 3x - 6$ pada titik tersebut adalah...
A. $5x - y - 14 = 0$
B. $5x + y - 6 = 0$
C. $x + 5y - 27 = 0$
D. $x + 5y + 18 = 0$
E. $x - 5y - 22 = 0$

Pembahasan :

Misalkan gradien garis singgung kurva adalah $m_1$ dan gradien garis yang melalui titik $A(2, -4)$ dan tegak lurus garis singgung kurva adalah $m_2$. Gradien garis singgung kurva adalah turunan pertama di titik singgung.
$m_1 = y' = 4x - 3$
$m_1 = 4.2 - 3$
$m_1 = 5$
$m_1.m_2 = -1$
$5.m_2 = -1$
$m_2 = -\dfrac15$
Garis melalui titik $(2, -4)$ dan gradien $-\dfrac15$
$y - (-4) = -\dfrac15(x - 2)$
$y + 4 = -\dfrac15(x - 2)$
$5y + 20 = -x + 2$
$x + 5y + 18 = 0$

Jawaban : D

Nomor 19: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 30 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti pada gambar. Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah...

A. 2.000 cm³
B. 3.000 cm³
C. 4.000 cm³
D. 5.000 cm³
E. 6.000 cm³

Pembahasan :

Perhatikan gambar !

Volume kubus:
$V(x) = (30 - 2x).(30 - 2x).x$
$V(x) = 900x - 120x^2 + 4x^3$
$V'(x) = 900 - 240x + 12x^2 = 0$
$x^2 - 20x - 75 = 0$
$(x - 5)(x - 15) = 0$
$x = 5\ atau\ x = 15$
$V''(x) = -240 + 24x$
$v''(5) = -240 + 24.5$
$= -120 < 0$ Volume kotak maksimum pada saat $x = 5$. $V_{maks} = (30 - 2.5).(30 - 2.5).5$ $= 20.20.5$ $= 2.000\ cm^3$ Jawaban : A

Nomor 20: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

$\displaystyle \int (3x^2 - 5x + 4)dx =$...
A. $x^3 - \dfrac52x^2 + 4x + C$
B. $x^3 - 5x^2 + 4x + C$
C. $3x^3 - 5x^2 + 4x + C$
D. $6x^3 - 5x^2 + 4x + C$
E. $6x^3 - \dfrac52x^2 + 4x + C$

Pembahasan :

$\displaystyle \int (3x^2 - 5x + 4)dx = x^3 - \dfrac52x^2 + 4x + C$

Jawaban : A

Nomor 21: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Hasil dari $\displaystyle \int (2x - 1)(x^2 - x + 3)^3dx =$...
$A.\ \dfrac13\left(x^2 - x + 3\right)^3 + C$
$B.\ \dfrac14\left(x^2 - x + 3\right)^3 + C$
$C.\ \dfrac14\left(x^2 - x + 3\right)^4 + C$
$D.\ \dfrac12\left(x^2 - x + 3\right)^4 + C$
$E.\ \left(x^2 - x + 3\right)^4 + C$

Pembahasan :

Misalkan $u = x^2 - x + 3$
$\dfrac{du}{dx} = 2x - 1$
$du = (2x - 1)dx$
$\displaystyle \int (2x - 1)(x^2 - x + 3)dx = \int u^3du$
$= \dfrac14u^4 + C$
$= \dfrac14(x^2 - x + 3)^4 + C$

Jawaban : C

Nomor 22: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Diketahui $cos\ \alpha = \dfrac{a}{2b}$, dengan $\alpha$ sudut lancip. Nilai dari $cosec\ \alpha =$...
$A.\ \dfrac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{a}$
$B.\ \dfrac{a}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$
$C.\ \dfrac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2b}$
$D.\ \dfrac{2b}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$
$E.\ \dfrac{2b}{a}$

Pembahasan :

Perhatikan gambar !

$cosec\ \alpha = \dfrac{2b}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$

Jawaban : D

Nomor 23: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Gambar grafik fungsi trigonometri $f(x) = 2\ sin\ (x - 30)^o$ adalah...

Pembahasan :

$f(x) = 2\ sin\ (x - 30^o)$
$Periode = 360^o$
$Nilai\ maksimum = |2| = 2$
$Nilai\ minimum = -|2| = -2$
$y = 2\ sin\ x$ memotong sumbu $x$ di $x = 0^o,\ 180^o,\ 360^o$
$y = 2\ sin\ (x - 30^o)$ adalah kurva $y = 2\ sin\ x$ digeser sejauh $30^o$ ke kanan. Sehingga titik potong $y = 2\ sin\ (x - 30^o)$ dengan sumbu x adalah $x = 30^o,\ 210^o,\ 390^o$. Grafik yang sesuai ada pada opsi (pilihan) A.

Jawaban : A

Nomor 24: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Sebidang tanah berbentuk segitiga dengan setiap titik sudutnya diberi tonggak pembatas A, B, dan C. Jika jarak antara tonggak A dan B adalah 300 m, sudut ABC $= 45^o$, dan sudut BCA $= 60^o$, jarak antara tonggak A dan C adalah...
$A.\ 50\sqrt{6}\ m$
$B.\ 100\sqrt{3}\ m$
$C.\ 150\sqrt{2}\ m$
$D.\ 100\sqrt{6}\ m$
$E.\ 300\sqrt{6}\ m$

Pembahasan :

Perhatikan gambar !

Ingat Aturan Sinus !
$\dfrac{b}{sin\ B} = \dfrac{c}{sin\ C}$
$\dfrac{b}{sin\ 45^o} = \dfrac{300}{sin\ 60^o}$
$\dfrac{b}{\dfrac12\sqrt{2}} = \dfrac{300}{\dfrac12\sqrt{3}}$
$b = \dfrac{300}{\sqrt{3}}\sqrt{2}$
$b = 100\sqrt{6}$

Jawaban : D

Nomor 25: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P, Q, dan R berturut-turut merupakan titik tengah rusuk EH, BF, dan CG. Jarak titik P ke garis QR adalah...
$A.\ 3\sqrt{7}\ cm$
$B.\ 3\sqrt{6}\ cm$
$C.\ 3\sqrt{5}\ cm$
$D.\ 3\sqrt{3}\ cm$
$E.\ 2\sqrt{3}\ cm$

Pembahasan :

Perhatikan gambar !

Jarak P ke garis QR adalah Panjang PS.
$QP^2 = QF^2 + FE^2 + EP^2$
$QP^2 = 3^2 + 6^2 + 3^2$
$QP^2 = 54$
$RP^2 = QP^2 = 54$
$PS^2 = RP^2 - RS^2$
$PS^2 = 54 - 3^2$
$PS^2 = 54 - 9$
$PS^2 = 45$
$PS = 3\sqrt{5}\ cm$

Jawaban : C

Nomor 26: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Jika titik P terletak pada pertengahan garis GC, jarak titik C ke bidang BPD adalah...
$A.\ \dfrac53\sqrt{7}\ cm$
$B.\ \dfrac53\sqrt{6}\ cm$
$C.\ \dfrac53\sqrt{5}\ cm$
$D.\ \dfrac53\sqrt{3}\ cm$
$E.\ \dfrac53\sqrt{2}\ cm$

Pembahasan :

Perhatikan gambar !

$PQ^2 = CQ^2 + CP^2$
$PQ^2 = (5\sqrt{2})^2 + 5^2$
$PQ = 5\sqrt{3}$
Berdsarkan prinsip luas segitiga.
$\dfrac12.CR.PQ = \dfrac12.CQ.CP$
$CR = \dfrac{CQ.CP}{PQ}$
$CR = \dfrac{5\sqrt{2}.5}{5\sqrt{3}}$
$CR = \dfrac53\sqrt{6}$

Jawaban : B

Nomor 27: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Persamaan bayangan garis $y = x + 1$ jika dirotasi dengan pusat $O(0, 0)$ sebesar $180^o$ berlawanan arah dengan jarum jam dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y adalah...
$A.\ x - y - 1 = 0$
$B.\ x - y = 0$
$C.\ x + y = 0$
$D.\ x + y - 1 = 0$
$E.\ x + y + 1 = 0$

Pembahasan :

$T_1 = \begin{pmatrix}cos\ 180^o & -sin\ 180^o\\ sin\ 180^o & cos\ 180^o\end{pmatrix}$
$T_1 = \begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}$
$T_2 = \begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix} = T_2\ o\ T_1\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}$
$x = x''\ dan\ y = -y''$
Substitusikan $x = x''\ dan\ y = -y''$ ke dalam persamaan garis $y = x + 1$
$-y'' = x'' + 1$
Hilangkan tanda '' !
$-y = x + 1$
$x + y + 1 = 0$

Jawaban : E

Nomor 28: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Perhatikan data produksi kelapa sawit dari beberapa provinsi di Indonesia dari tahun 2013 hingga tahun 2017 berikut.

Berdasarkan data di atas, propinsi yang mengalami kenaikan jumlah produksi terbesar pada tahun 2016 adalah...
A. Sumatera Barat
B. Kepulauan Riau
C. Jambi
D. Sumatera Selatan
E. Kepulauan Bangka Belitung

Pembahasan :

Sumatera barat = 3089 - 2978 = 111
Kepulauan riau = 2944 - 2797 = 147
Jambi = 3398 - 3241 = 157
Sumatera selatan = 3999 - 3760 = 239
Kepulauan Bangka Belitung = 3475 - 3356 = 119
Kenaikan jumlah produksi terbesar pada tahun 2016 adalah Sumatera Selatan.

Jawaban : D

Nomor 29: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Perhatikan histogram berikut.

Kuartil $ke-2(Q_2)$ dari data berat badan yang ditunjukkan pada histogram di atas adalah...
A. 50,5 kg
B. 51,5 kg
C. 52,5 kg
D. 53,5 kg
E. 54,5 kg

Pembahasan :

$n = 2 + 6 + 13 + 10 + 9 + 7 + 3 = 50$
$\dfrac12n = 25 → Q_2$ terletak pada batang ke empat dengan kelas $50 - 54$
$L_2 = 50 - 0,5 = 49,5$
$fk_2 = 2 + 6 + 13 = 21$
$f_2 = 10$
Panjang kelas $c = 54,5 - 49,5 = 5$
$Q_2 = L_2 + \dfrac{\dfrac12n - fk_2}{f_2}.c$
$Q_2 = 49,5 + \dfrac{25 - 21}{10}.5$
$Q_2 = 49,5 + \dfrac{4}{10}.5$
$Q_2 = 49,5 + 2$
$Q_2 = 51,5$

Jawaban : B

Nomor 30: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Tabel berikut menyatakan hasil penilaian guru terhadap kemampuan pelajaran fisika dari 70 orang siswa.

Modus dari data pada tabel tersebut adalah...
A. 49,5
B. 50,5
C. 51,5
D. 52,5
E. 53,5

Pembahasan :

Modus terletak pada kelas $49 - 53$
$L_o = 49 - 0,5 = 48,5$
$d_1 = 20 - 14 = 6$
$d_2 = 20 - 16 = 4$
Panjang kelas $c = 53,5 - 48,5 = 5$
$M_o = L_o + \dfrac{d_1}{d_1 + d_2}.c$
$M_o = 48,5 + \dfrac{6}{6 + 4}.5$
$M_o = 48,5 + \dfrac{6}{10}.5$
$M_o = 48,5 + 3$
$M_o = 51,5$

Jawaban : C

Nomor 31: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Diketahui data : $7, 6, 2, p, 3, 4$. Jika rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya, banyak nilai p yang mungkin untuk p bilangan asli adalah...
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Pembahasan :

Susunan yang mungkin:
A. p, 2, 3, 4, 6, 7 atau 2, p, 3, 4, 6, 7 akan menghasilkan nilai p yang sama.
$\dfrac{p + 22}{6} = \dfrac{3 + 4}{2}$
$p + 22 = 6.\dfrac72$
$p + 22 = 21$
$p = -1 →$ tidak memenuhi syarat.

B. 2, 3, p, 4, 6, 7 atau 2, 3, 4, p, 6, 7 akan menghasilkan nilai p yang sama.
$\dfrac{p + 22}{6} = \dfrac{p + 4}{2}$
$p + 22 = 6.\dfrac{p + 4}{2}$
$p + 22 = 3(p + 4)$
$p + 22 = 3p + 12$
$2p = 10$
$p = 5$

C. 2, 3, 4, 6, p, 7 atau 2, 3, 4, 6, 7, p akan menghasilkan nilai p yang sama.
$\dfrac{p + 22}{6} = \dfrac{4 + 6}{2}$
$\dfrac{p + 22}{6} = 5$
$p + 22 = 30$
$p = 8$
Nilai p yang memenuhi syarat ada dua buah yaitu:
$p = 5\ dan\ p = 8$

Jawaban : B

Nomor 32: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Pada saat praktikum terdapat 7 larutan, terdiri dari 4 larutan P dan 3 larutan Q. Jika dari larutan tersebut dipilih tiga larutan secara acak, banyak cara memilih 2 larutan P dan 1 larutan Q adalah...
A. 7 cara
B. 9 cara
C. 12 cara
D. 18 cara
E. 21 cara

Pembahasan :

$Banyak\ cara = \displaystyle _{2}^{4}\textrm{C}._{1}^{3}\textrm{C}$
$= \dfrac{4\ !}{(4 - 2)\ !.2\ !}.\dfrac{3\ !}{(3 - 1)\ !.1\ !}$
$= \dfrac{4\ !}{2\ !.2\ !}.\dfrac{3\ !}{2\ !.1\ !}$
$= \dfrac{4.3.2\ !}{2\ !.2.1}.\dfrac{3.2\ !}{2\ !.1}$
$= 6.3$
$= 18\ cara$

Jawaban : D

Nomor 33: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Sekelompok pemain takraw yang terdiri atas 12 orang yang mempunyai kemampuan bermain takraw hampir sama akan mengikuti turnamen takraw. Mereka akan terbagi menjadi tiga regu, yaitu regu A, regu B, dan regu C. Peraturan turnamen membolehkan satu regu hanya terdiri dari satu pemain inti dan 1 orang pemain pengganti. Jika dari kedua belas orang tersebut sudah ditetapkan 3 orang sebagai pemain tekong (pemain yang bertugas melakukan servis) pada setiap regu (misalnya Ali di regu A, Budi di regu B, Candra di regu C), banyak cara menempatkan pemain lain ke dalam regu adalah...
A. 560 cara
B. 1.120 cara
C. 1.560 cara
D. 1.680 cara
E. 2.240 cara

Pembahasan :

$Banyak\ cara = \displaystyle _{3}^{9}\textrm{C}._{3}^{6}\textrm{C}._{3}^{3}\textrm{C}$
$= \dfrac{9!}{6!.3!}.\dfrac{6!}{3!.3!}.\dfrac{3!}{0!.3!}$
$= \dfrac{9.8.7.6!}{6!.3.2.1}.\dfrac{6.5.4.3!}{3!.3.2.1}.\dfrac{3!}{1.3!}$
$= 3.4.7.5.4.1$
$= 1.680\ cara$

Jawaban : D

Nomor 34: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Pada sebuah toko seluler, terdapat 10 telepon genggam dalam kondisi baik dan 2 telepon genggam rusak pada suatu kemasan kardus. Untuk mendapatkan telepon genggam yang rusak, dilakukan pengujian dengan cara mengambil dan menguji satu per satu secara acak tanpa pengembalian. Peluang diperoleh 2 telepon genggam rusak pada dua pengujian yang pertama adalah...
$A.\ \dfrac{1}{132}$
$B.\ \dfrac{1}{72}$
$C.\ \dfrac{1}{66}$
$D.\ \dfrac{1}{36}$
$E.\ \dfrac16$

Pembahasan :

Peluang mendapatkan telepon rusak pada pengambilan pertama:
$P_1 = \dfrac{2}{12} = \dfrac16$.
Peluang mendapatkan telepon rusak pada pengambilan kedua:
$P_2 = \dfrac{1}{11}$.
Peluang mendapatkan telepon rusak pada pengambilan pertama dan pengambilan kedua:
$P_{1\ dan\ 2} = \dfrac16.\dfrac{1}{11}$
$P_{1\ dan\ 2} = \dfrac{1}{66}$

Jawaban : C

Nomor 35: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Suatu mesin permainan melempar bola bernomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sebanyak 70 kali. Frekuensi harapan muncul bola dengan nomor bilangan prima adalah...
A. 14 kali
B. 21 kali
C. 28 kali
D. 35 kali
E. 42 kali

Pembahasan :

Peluang muncul bilangan prima:
$A = \{2, 3, 5, 7 \} → n(A) = 4$
$n(S) = 10$
$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)} = \dfrac{4}{10}$
Banyak Percobaan (BP) = 70 kali.
$F_h = P(A)>BP$
$F_h = \dfrac{4}{10}.70$
$F_h = 28\ kali$

Jawaban : C

Nomor 36: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Kepada tiga orang siswa yaitu Andi, Tito, dan Vian, diberikan ulangan harian susulan mata pelajaran matematika. Untuk dapat mencapai nilai KKM (Kriteria Ketuntasan Minimal), peluang Andi $\dfrac45$, peluang Tito $\dfrac23$, peluang Vian $\dfrac34$. Peluang bahwa minimal dua diantara tiga siswa tersebut dapat mencapai nilai KKM adalah...
$A.\ \dfrac56$
$B.\ \dfrac23$
$C.\ \dfrac12$
$D.\ \dfrac29$
$E.\ \dfrac{4}{15}$

Pembahasan :

Andi:
$P(S) = \dfrac45$
$P(G) = 1 - \dfrac45 = \dfrac15$
Tito:
$P(S) = \dfrac23$
$P(G) = 1 - \dfrac23 = \dfrac13$
Vian:
$P(S) = \dfrac34$
$P(G) = 1 - \dfrac34 = \dfrac14$
Note:
$P(S) → peluang\ sukses$
$P(G) → peluang\ gagal$
Karena yang disyaratkan adalah minimal dua orang mencapai nilai KKM atau sukses, maka ada empat kemungkinan, yaitu:
(i). Andi sukses, Tito sukses, dan Vian gagal.
$P_i = \dfrac45.\dfrac23.\dfrac14 = \dfrac{8}{60}$.
(ii). Andi sukses, Tito gagal, dan Vian sukses.
$P_{ii} = \dfrac45.\dfrac13.\dfrac34 = \dfrac{12}{60}$
(iii). Andi gagal, Tito sukses, dan Vian sukses.
$P_{iii} = \dfrac15.\dfrac23.\dfrac34 = \dfrac{6}{60}$
(iv). Andi sukses, Tito sukses, dan Vian sukses.
$P_{iv} = \dfrac45.\dfrac23.\dfrac34 = \dfrac{24}{60}$
$P_{total} = P_i + P_{ii} + P{iii} + P_{iv}$
$P_{total} = \dfrac{8 + 12 + 6 + 24}{60}$
$P_{total} = \dfrac{50}{60}$
$P_{total} = \dfrac{5}{6}$

Jawaban : A

Nomor 37: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Dalam rangka memperingati hari kemerdekaan Republik Indonesia, Desa X mengadakan lomba mengambil kelereng dari wadah dengan aturan sebagai berikut:

• Setiap tim terdiri dari 5 orang dan setiap anggota kelompok harus mengambil sesuai urutannya.
• Pada pengambilan putaran pertama (5 orang secara bergantian) hanya diperbolehkan mengambil masing-masing satu kelereng.
• Pada putaran kedua, orang pertama setiap kelompok mengambil 2 kelereng dan selalu bertambah 3 kelereng untuk peserta pada urutan berikutnya dalam kelompok tersebut.
• Pada putaran selanjutnya, setiap anggota tim mengambil 3 kelereng lebih banyak dari anggota sebelumnya.

Tim B beranggotakan Aldi, Budi, Cahyo, Deni, dan Endra (urutan pengambilan kelereng sesuai dengan urutan abjad awal nama). Bersamaan dengan habisnya wakktu, ternyata tim B berhasil mengumpulkan 350 kelereng. Banyak kelereng yang berhasil diambil pada pengambilan terakhir oleh salah seorang anggota tim B adalah ..... kelereng.

Pembahasan :

Pengambilan kelereng:
(1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + . . . + Un) = 350
2 + 5 + 8 + . . . + Un = 345 ← merupakan deret aritmetika.
$a = 2,\ b = 3,\ Sn = 345$
$Sn = \dfrac n2(2a + (n - 1)b)$
$345 = \dfrac n2(2.2 + (n - 1).3)$
$690 = n(4 + 3n - 3)$
$3n^2 + n - 690 = 0$
$(n - 15)(3n + 46) = 0$
$n = 15$
$Un = a + (n - 1)b$
$U_{15} = 2 + 14.3 = 44$
$\boxed{44}$

Nomor 38: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Perhatikan gambar berikut !

Tiga orang petugas dinas lingkungan hidup akan mengukur panjang Danau Tanralili di Kabupaten Goa. Orang pertama ada di titik A, orang kedua berada di titik B, dan orang ketiga berada di titik C. Ketiga petugas tersebut mengukur panjang Danau Tanralili dengan bantuan drone. Dari titik A orang pertama menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $045^o$ ke titik B dan tercatat drone terbang selama 15 menit dengan kecepatan 1,2 km/jam. Kemudian dari titik B orang kedua menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $105^o$ ke titik C dan tercatat drone terbang selama 20 menit dengan kecepatan 1,2 km/jam. Jika $p$ adalah jarak titik A ke titik C atau panjang danau tanralili dalam meter, nilai $p^2 =$...

Pembahasan :

Jarak A ke B dapat dihitung:
$s = v.t$
$s = 1,2.\dfrac14\ km$
$s = 300\ m$
Jarak B ke C dapat dihitung:
$s = 1,2.\dfrac13$
$s = 400\ m$
Jarak A ke C dapat dihitung dengan aturan cosinus:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2\ a\ c\ cos\ B$
$b^2 = 400^2 + 300^2 - 2.400.300.cos\ 120^o$
$b^2 = 400^2 + 300^2 - 2.400.300.\left(-\dfrac12\right)$
$b^2 = 160.000 + 90.000 + 120.000$
$b^2 = 370.000$
$p^2 = b^2 = 370.000$
$\boxed{370.000}$

Nomor 39: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Sebuah penyedia layanan telepon seluler akan mengeluarkan produk baru dengan nomor kartu terdiri atas 12 digit. Seorang pegawai mendapat tugas menyusun nomor kartu dengan kode prefix (empat nomor awal dari identitas penyedia layanan telepon seluler) adalah 0844 dan empat digit terakhir merupakan angka cantik yaitu 1221. Pegawai tersebut hanya diperbolehkan menggunakan angka 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 untuk menyusun nomor kartu. Banyak nomor kartu yang dapat dibuat oleh pegawai tersebut adalah...

Pembahasan :

Yang perlu disusun adalah empat nomor tengah dari angka 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9.
Banyak susunan $= 7.7.7.7 = 2401$
$\boxed{2401}$

Nomor 40: Soal UNBK Matematika SMA IPA 2019

Diketahui luas maksimum persegi panjang di dalam suatu daerah segitiga yang dibentuk oleh garis $y = x - p$ dengan $p > 0$, sumbu $x$, dan sumbu $y$ adalah 9 satuan luas. Nilai $p =$...

Pembahasan :

Perhatikan gambar !

Misalkan lebar dari persegi panjang adalah $x$, sehingga panjangnya adalah $y = x - p$. Dengan demikian luas menjadi:
$L = xy$
$L(x) = x(x - p)$
$L(x) = x^2 - px$
$L'(x) = 2x - p = 0$
$x = \dfrac p2$
$y = x - p$
$y = \dfrac p2 - p$
$y = -\dfrac p2$
Berarti panjang sisi-sisi dari persegi panjang tersebut adalah $\dfrac p2$
$L = \dfrac p2.\dfrac p2$
$9 = \dfrac {p^2}{4}$
$p^2 = 36$
$p = 4\ atau\ p = -4$
Karena $p > 0$, maka nilai $p$ yang memenuhi syarat adalah 4.
$\boxed{4}$

Silahkan klik tombol "Halaman Ke" berikut untuk melihat soal dan pembahasan sebelum / selanjutnya.